Melyik ajánlat éri meg jobban?

318. feladvány: KedvezménykártyákEgy üzlet a következő kedvezményt adja vásárláskor. Ötven egyforma hátoldalú kártyát kevernek össze, mindegyiken százalékos kedvezmény szerepel 1-től 50 százalékig, egyesével növekvő értékben, tehát minden kedvezményből pontosan egy kártya van. Ha valaki elkötelezte magát a vásárlás iránt, fizetés előtt két lehetőség közül választhat:A: Véletlenszerűen kihúz két kártyát az ötvenből, és a nagyobbik kedvezményt felhasználhatja.B: Véletlenszerűen kihúz öt kártyát az ötvenből, de a legnagyobb értékűt vissza kell adnia, a megmaradt négy közül pedig a legnagyobbat felhasználhatja.A húzások visszatevés nélkül történnek. Csak egy kártya kedvezménye érvényesíthető. Meg lehet mondani, hogy átlagosan mekkora kedvezményt fog adni így a bolt?Ha a vevők választásától függne az átlagos kedvezmény, akkor nem lehetne megmondani, de ha mindkét esetben egyforma az átlagos kedvezmény, akkor a vevők választása lényegtelen a bolt számára. Próbáljuk tehát belátni, hogy az átlagos kedvezmény mindkét esetben ugyanakkora! Ehhez pedig koncentráljunk a kihúzott értékek közti hézagokra!A kedvezményszámokat képzeljük el egy számegyenesen, és tegyünk melléjük két segédpontot, a nullát és az 51-et. Ilyen módon két kihúzott szám három részre osztja a [0,51] szakaszt. Tegyük fel, hogy a kihúzott x és y szám közül x a kisebb. Ekkor a három részre osztott szakasz darabjainak hossza: x, y-x és 51-y. Könnyen belátható, hogy ezeknek a hézagoknak az átlagos hossza egyforma.Hogyan lehet ezt belátni? Vegyünk egy tetszőleges D hézagtávolságot, a példa kedvéért legyen D = 10. Nézzük meg milyen (x,y) párok esetében lehet az első hézag nagysága D, mikor lehet a második hézag nagysága D, illetve a mikor lehet a harmadik hézag nagysága D. D = 10 esetén a bal oldali hézag ezeknél a pároknál lesz megfelelő nagyságú: (10,11), (10,12), ..., (10,50). A középső hézag ezeknél: (1,11), (2,12), ..., (40,50), a jobb szélső hézag pedig ezeknél: (1,41), (2,41), ..., (40,41). Ezek mindegyike 4